Phương Pháp Chứng Minh Ba Điểm Thẳng Hàng, Chứng Minh 3 Điểm Thẳng Hàng

Chứng minh 3 điểm thẳng hàng là một dạng toán tương đối khó nhưng lại thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi và cũng là dạng khiến rất nhiều em học sinh gặp khó khăn trong quá trình ôn thi vào 10 môn Toán. Chính vì thế, HOCMAI gửi tới các em học sinh một số phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng hay và được sử dụng thông dụng nhất. Hãy cùng tìm hiểu.

Bạn đang xem: Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng

Chứng minh tứ giác nội tiếp

Các xác định tâm đường tròn ngoại tiếp

A. Khái niệm 3 điểm thẳng hàng là gì?

Ba điểm thẳng hàng là 3 điểm cùng nằm trên một đường thẳng

B. Mối quan hệ của 3 điểm thẳng hàng

3 điểm thẳng hàng thì 3 điểm đó phân biệt và cùng nằm trên một đường thẳng.

Chỉ có duy nhất 1 và chỉ một đường thẳng đi qua 3 điểm bất kì

C. Các phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Sử dụng hai góc kề bù có ba điểm cần chứng minh thuộc hai cạnh là hai tia đối nhau.

Ba điểm cần chứng minh thuộc cùng 1 tia hoặc một đường thẳng bất kì

Hai đoạn thẳng đi qua 2 trong 3 điểm cần chứng minh cùng song song với một đường thẳng thứ 3

Hai đường thẳng cùng đi qua hai trong ba điểm cần chứng minh cùng vuông góc với một đường thẳng thứ 3 nào đó.

Đường thẳng đi qua 2 điểm cũng đi qua điểm thứ 3

Áp dụng tính chất của đường phân giác của một góc, tính chất đường trung trực của đoạn thẳng hay tính chất ba đường cao trong tam giác

Áp dụng các tính chất của hình bình hành

Áp dụng tính chất của góc nội tiếp đường tròn

Áp dụng tính chất của góc bằng nhau đối đỉnh

Chứng minh bằng phương pháp phản chứng

Chứng minh diện tích tam giác của 3 điểm bằng 0

Áp dụng tính chất sự đồng quy của các đoạn thẳng

D. Các cách chứng minh ba điểm thẳng hàng thường được áp dụng nhất

Phương pháp 1: Áp dụng tính chất góc bẹt

Chọn một điểm D bất kì: nếu ∠ABD + ∠DBC = 180 độ thì ba điểm A, B, C đã cho thẳng hàng

Phương pháp 2: Sử dụng tiên đề Ơ-cơ-lit

Cho 3 điểm A, B, C và 1 đường thẳng a. Nếu AB // a và AC // a thì ta có thể khẳng định ba điểm A; B; C thẳng hàng. (dựa trên cơ sở tiên đề Ơ-cơ-lít trong chương trình Toán lớp 7)

Phương pháp 3: Sử dụng tính chất 2 đường thẳng vuông góc

Nếu đoạn thẳng AB ⊥ a; đoạn thẳng AC ⊥ a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

(Cơ sở lý thuyết của phương pháp này: Chỉ có 1 và chỉ 1 một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước)

Hoặc sử dụng tính chất A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một đoạn thẳng .(nằm trong chương trình toán học lớp 7)

Phương pháp 4: Sử dụng tính duy nhất tia phân giác

Nếu 2 tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy thì ta có thể khẳng định 3 điểm O, A, B thẳng hàng

Cơ sở lý thuyết phương pháp trên: Một góc chỉ có một và chỉ một đường phân giác

* Hoặc : Hai tia OA và OB nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, ta có ∠xOA = ∠xOB thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.

Phương pháp 5: Sử dụng tính chất đường trung trực

Nếu K là trung điểm của đoạn thẳng BD, điểm K’ là giao điểm của 2 đoạn thẳng BD và AC. Nếu điểm K’ là trung điểm BD và K’ trùng K. Từ đó ta có thể kết luận 3 điểm A, K, C thẳng hàng.

(Cơ sở lý thuyết của phương pháp này: Mỗi đoạn thẳng chỉ có duy nhất 1 trung điểm)

Phương pháp 6: Sử dụng tính chất các đường đồng quy

Chứng minh 3 điểm thuộc các đường đồng quy của tam giác.

Ví dụ: Chứng minh điểm E là trọng tâm tam giác ABC và đoạn thẳng AM là trung tuyến của góc A suy ra 3 điểm A, M, H thẳng hàng.

Bên cạnh đó, các em học sinh hoàn toàn có thể vận dụng cho tất cả các đường đồng quy khác của tam giác như 3 đường cao, 3 đường phân giác hoặc 3 đường trung trực trong tam giác.

Phương pháp 7: Sử dụng phương pháp vectơ

Ta sử dụng tính chất của 2 vectơ có cùng phương để có thể chứng minh có đường thẳng đi qua cả 3 điểm (tức là 3 điểm thẳng hàng)

Ví dụ: Chứng minh vectơ AB và vectơ AC có cùng phương, hay vectơ CA và vectơ CB, hay vectơ AB vectơ và vectơ BC có cùng phương thì ta có thể kết luận 3 điểm A, B, C thẳng hàng.

Xem thêm: Dưỡng da cao cấp thái lan malia ( bộ dưỡng da cao cấp thái lan tốt nhất hiện nay

E. Một số bài tập luyện tập các cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn đường kính AB cắt BC tại D khác B. Gọi M là điểm bất kì trên đoạn AD. Kẻ MH, MI lần lượt vuông góc với AB, AC tại H, I. Kẻ HK vuông góc với ID tại K. Chứng minh góc MID = Góc MBC và tứ giác AIKM nội tiếp đường tròn, từ đó các em học sinh hãy chứng minh ba điểm K, M, B thẳng hàng.

Bài tập 2: Cho tam giác ABC có góc A bằng 90 độ. Lấy B làm tâm, vẽ một đường tròn có bán kính BA, lấy điểm C làm tâm, vẽ đường tròn có bán kính AC. Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là điểm D. Vẽ AM và AN lần lượt là các dây cung của đường tròn (B) và (C) sao cho thỏa mãn điều kiện AM vuông góc với AN và điểm D nằm giữa 2 điểm M và N. Hãy chứng minh ba điểm M, D, N thẳng hàng.

Bài tập 3: Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Gọi điểm C là một điểm điểm bất kì thuộc nửa đường tròn sao cho 0

Phương pháp 1 : Sử dụng tính chất góc bẹt

+ ) Chứng minh $widehat{ABC}$ = $180{}^circ$

=>A, B, C thẳng hàng .

Phương pháp 2 : Sử dụng tiên đề Ơclit

Chứng minh hai đoạn thẳng, tạo thành từ 3 điểm đã cho, cùng song song với một đường thẳng nào đó.

Chẳng hạn chứng minh :

AM//xy và BM//xy => A, M, B thẳng hàng ( tiên đề Ơclit ).

Phương pháp 3 : Sử dụng tính chất của hai đường thẳng vuông góc

Chứng minh hai đoạn thẳng, tạo từ 3 điểm đã cho cùng vuông góc với một đường thẳng nào đó.

Chẳng hạn chứng minh : A , H , B thẳng hàng.

Phương pháp 4 : Sử dụng tính duy nhất của tia phân giác của một góc khác góc bẹt

Chứng minh : + Tia OA và OB cùng là tia phân giác của $widehat{xOy}$

+ Tia OB là tia phân giác của góc $widehat{xOy}$

=>A , O , B thẳng hàng ­­

Phương pháp 5 : Sử dụng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

Chứng minh H , I , K cùng thuộc đường trung trực của AB

=>H , I , K thẳng hàng

Phương pháp 6 : Sử dụng tính chất các đường đồng quy của tam giác

Chứng minh : +) I là trọng tâm của ∆ ABC

+) AD là trung tuyến của ∆ ABC

=>A , I , D thẳng hàng

+ ) Tương tự đối với ba đường cao , phân giác , trung trực trong tam giác.

II . Bài tập áp dụng :

Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc CA ( tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC ) . Trên tia Cx lấy điểm D sao cho CD = AB. Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng .

Giải

Xét$Delta AMB$và $Delta CMD$, có :

AB = CD ( đối đỉnh )

$widehat{MAB}=widehat{MCD}=90{}^circ $

MA = MC ( M là trung điểm AC )

=>$Delta AMB$= $Delta CMD$ (c.g.c)

=>$widehat{AMB}$=$widehat{CMD}$ ( hai góc tương ứng )

Mà $widehat{AMB}+widehat{BMC}=180{}^circ $ ( Kề bù )

nên $widehat{BMC}+widehat{CMD}=180{}^circ $

Vậy ba điểm B, M, D thẳng hàng

Bài 2 : Cho tam giác ABC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Trên các tia BM, CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung điểm BD và N là trung điểm EC. Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng.

Giải

Xét tam giác BMC và DMA , ta có :

BM = DM

<widehat{BMC}=widehat{DMA}> ( đối đỉnh )

AM = CM

=><Delta BMC=Delta DMA,,(c.g.c)>

=><widehat{ACB}=widehat{DAC}> mà hai góc ở vị trí so le trong nên BC // AD (1)

Tương tự ta có : <Delta EAN=Delta BNC,,,(c.g.c)> => <widehat{EAN}=widehat{NBC}>mà hai góc ở vị trí so le trong nên AE // BC (2)

Từ (1),(2) ta có : Điểm A nằm ngoài BC , theo tiên đề Ơ-clit ta có một và chỉ 1 đường thẳng song song với BC qua A => Ba điểm E, A, D song song.

Bài 3 : Cho tam giác ABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Vẽ AH vuông góc BC ( H <in >BC). Trên đoạn DE lấy điểm K sao cho BH = DK. Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng .

Hướng dẫn giải :

+) Chứng minh <Delta ABH=Delta ADK,,(c.g.c)>

=>AK // BC

Mà AH <bot >BC nên ta có ba điểm K, A, H thẳng hàng .

III. Bài tập tự luyện :

Bài 1 : Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác sao cho MB = MC. Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng .

Bài 2 : Cho ba tam giác cân ABC, DBC và EBC có chung đáy BC. Chứng minh rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng.

Bài 3 : Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM. Trên AM lấy điểm P, Q sao cho AQ = PQ = PM. Gọi E là trung điểm của AC. Chứng minh ba điểm B, P, E thẳng hàng.

Bài 4 : Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ đường cao BH và CK cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh A, I, M thẳng hàng.

Bài 5 : Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và CD. Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng .

Bài 6 : Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC ( H và K thuộc BC). Gọi M là trung điểm HK. Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng.

Bài 7 : Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối CA lấy điểm N sao cho BM = CN. Gọi K là trung điểm MN. Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng .

Bài 8 : Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia AB lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho D là trung điểm AN. Chứng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng.

Bài viết gợi ý: 1. Cộng trừ số hữu tỉ 2. Cộng trừ đa thức 3. Nghiệm của đa thức một biến 4. tổng hợp các bài toán hình học nâng cao lớp 7 5. Đơn thức đa thức 6. Bất đẳng thức trong tam giác 7. Số hữu tỉ